確率密度関数

正規分布の確率密度関数

\[
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2π}σ}e^-{\frac{(x-μ)^2}{2σ^2}}
\]
※e:自然対数(ネイピア数、2.71828・・・)

確率密度関数の性質

※N:標本数(ヒストグラムの横軸)
※fi:測定値(ヒストグラムの縦軸)
※S:ヒストグラムの面積
※Δx:ヒストグラムの階級値の横幅
\[
N=\sum_{i}fi\\
S=\sum_{i}fi・Δx\\
=Δx・N\\
\]
ヒストグラムでは1つの範囲は全体の割合になる(全体が1なので)。
それぞれの階級値(ヒストグラムの高さ)を全体数で割ると、面積はS=1となる。
\[
fi’ = \frac{fi}{S}
\]
Nを∞、Δxを0とすると、確率となる。
ヒストグラムは曲線になる。f(x)を確率密度関数(pdf)という。
\[
\int_{-∞}^∞ f(x) dx = 1 \\
\]
\[
f(x)≧0\\
\]
\[
P(a≦X≦b)
= \int_a^b f(x) dx = 1\\
\]
※確率は面積となる。

連続型確率変数の平均(期待値)と分散

連続型確率変数の平均(期待値)

※xi(階級値)、S=NΔx、$$fx’=\frac{fi}{S}$$、Δx(刻み幅)
※刻み幅を極限まで狭くする
\[
\overline{x} = \frac{1}{N}\sum_{i}fixi = \frac{1}{NΔx}(\sum_{i}fixiΔx)\\
=\sum_{i}\frac{fi}{S}xiΔx \\
=\sum_{i}fi’xiΔx\\
\]
N ⇒ ∞、Δx ⇒ 0

\[
E[X] = \int_{-∞}^∞ xf(x) dx ・・・連続型確率変数の定義
\]

連続型確率変数の分散

\[
Vx\\
=\frac{1}{N}\sum_{i}(xi-\overline{x})^2fi\\
=\frac{1}{NΔx}\sum_{i}(xi-\overline{x})^2fiΔx\\
=\sum_{i}(xi-\overline{x})^2(\frac{fi}{S})Δx\\
=\sum_{i}(xi-\overline{x})^2fi’Δx
\]
\[
V[X]=\int_{-∞}^∞ (x-E[X])^2f(x)dx\\
・・・連続型確率変数の分散の定義\\
\]
\[
V[X]=E[X^2]-(E[X])^2=E[X^2]-μ^2\\
・・・連続型確率変数の分散の公式\\
※E[X]=μ
\]

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